Applications of invariant operators in real parabolic geometries

Abstract

Základným faktom v Riemannovskej geometrii je existencia jedinej beztorznej konexie (nazývaná Levi-Civitova konexia), ktorá je kompatibilná s Riemannovskou metrikou g, teda má vlastnost' ∇g = 0. V projektívnej geometrii je trieda kovariantných derivácií definujúca geometriu fixná a všetky tieto kovariantné derivácie majú rovnakú triedu (neparametrizo- vaných) geodetík. Starý (a netriviálny) problém je zistit', kedy sú tieto krivky geodetikami (pseudo-)Riemannovskej metriky. Takéto projektívne štruktúry sa volajú metrizovatel'né. Prekvapivo, U. Dini a R. Liouville už v 19. storočí zistili, že problém metrizovatel'nosti vedie k systému lineárnych PDR. V posledných rokoch bolo publikovaných niekol'ko článkov zaobe- rajúcich sa týmito problémami. Projektívna geometria je reprezentatívny príklad takzvaných parabolických geometrií (pre úplny opis, vid' nedávnu monografiu A. Čapa a J. Slováka). Nedávno bolo zistené, že prislúchajúci lineárny operátor pre metrizovatel'nost' je špeciálnym prípadom takzvaného prvého BGG operátora. Plochý model projektívnej geometrie je (reálny) projektívny priestor. V tomto všeobecnejšom kontexte je problém metrizovatel'nosti pre (pseudo- )Riemannovské geometrie prirodzene zovšeobecnený na...

In Riemannian geometry, the fundamental fact is that there exists a unique torsion-free connection (called the Levi-Civita connection) compatible with the Riemannian metric g, i.e. having the property ∇g = 0. In projective geometry, the class of covariant derivatives defining the geometry is fixed and all these covariant derivatives have the same class of (non- parametrized) geodesics. Old (and non-trivial) problem is to find whether these curves are geodesics of a (pseudo-)Riemannian metric. Such projective structures are called metrizable. Surprisingly enough, U. Dini and R. Liu- oville found in 19th century that the metrizability problem leads to a system of linear PDE's. In the last years, there were several papers dealing with these problems. The projective geometry is a representative example of the so called parabolic geometries (for full description, see the recent monograph by A. Čap and J. Slovák). It was realized recently that the corresponding linear metrizability operator is a special example of the so called first BGG operator. The flat model of projective geometry is the (real) projective space. In this more general context, the metrizability problem for (pseudo- )Riemannian geometries is naturally generalized to the sub-Riemannian situation. In the recent preprint, D.Calderbank, J....