Neceločíselné derivace, teorie a aplikace

Abstract

Práce je rešerší na dané téma. Po krátkém historickém úvodu jsou uvedeny po- třebné části klasické teorie derivace a integrace. Vlastní část práce se věnuje Rie- mann-Liouvilleovu (R-L) integrálu a derivaci reálných funkcí reálné proměnné definovaných na kompaktním intervalu. Jsou dokázány některé základní vlast- nosti jak pro funkce integrovatelné, tak spojité. Kromě R-L definice je ještě uve- dena Caputova a Grünwald-Letnikovova a jsou popsány vztahy mezi těmito třemi definicemi. Dále jsou spočteny R-L derivace některých elementárních funkcí a bá- zových funkcí, které se používají v metodě konečných prvků. Poslední část práce je věnována numerické aproximaci R-L derivace. Jsou popsány a implementovány dva algoritmy, které následně testujeme na několika funkcích. 1

This work represents an overview of the given topic. After a short historical intro- duction, we present all necessary results from the classical theory of differentiation and integration. The core of the thesis is concerned with the Riemann-Liouville (R-L) integral and derivative of real functions defined on compact intervals. We prove basic properties for integrable as well as continuous functions. Along with the R-L definition, we also give the Caputo and Grünwald-Letnikov definitions and their mutual relations. Furthermore, we calculate the R-L derivatives of some elementary functions as well as basis functions from the finite element method. The last part is concerned with the numerical approximation of R-L derivatives. We describe and implement two algorithms, which we test on several functions. 1