Nonlinear stability of steady states in thermomechanics of viscoelastic fluids

Abstract

V práci studujeme nelinární stabilitu stacionárních řešení parciálních diferenciálních rovnic, které řídí termomechanickou evoluci viskoelastických tekutin; materiálů, které vykazují viskózní i elastickou odezvu při deformaci. Je známo, že termodynamické kon- cepty mohou být úspěšně využity pro konstrukci Ljapunovských funkcionálů v nelineární analýze stability prostorově homogenních rovnovážných stavů v termodynamicky uza- vřených systémech. V práci ukazujeme, že tento termodynamicky orientovaný přístup může být také využit v nelineární analýze stability prostorově nehomogenních nerovno- vážných stavů v termodynamicky otevřených systémech. Práce se skládá ze dvou částí. V první části se věnujeme klasické konstrukci Ljapunovských funkcionálů v termodyna- micky uzavřených systémech a aplikujeme nelineární teorii stability na stlačitelné tepelně vodivé viskoelastické tekutiny modelované multiškálovým i čistě makroskopickým přístu- pem. V druhé části se soustředíme na dva speciální případy termodynamicky otevřených systémů. Za prvé ukazujeme, že prostorově nehomogenní nerovnovážný stav nestlači- telné tepelně vodivé viskoelastické tekutiny, která vyplňuje mechanicky uzavřenou ná- dobu se stěnami drženými na prostorově nestejnoměrné teplotě, je globálně asymptoticky stabilní. Za druhé vyšetřujeme nelineární...

We study nonlinear stability of steady state solutions of partial differential equations governing the thermomechanical evolution of viscoelastic fluids; materials that exhibit both viscous as well as elastic response when undergoing deformation. It is well-known that thermodynamical concepts can be gainfully exploited in the construction of Lya- punov functionals for nonlinear stability analysis of spatially homogeneous equilibrium rest states in thermodynamically closed systems. We show that the thermodynamically oriented approach can be utilized in the nonlinear stability analysis of spatially inhomo- geneous non-equilibrium steady states in thermodynamically open systems as well. The thesis consists of two parts. In the first part, we revisit the classical construction of Lyapunov functionals in thermodynamically closed systems and we apply the nonlinear stability theory to compressible heat-conducting viscoelastic fluids modeled by a multi- scale, as well as a purely macroscopic approach. In the second part, we focus on two special instances of thermodynamically open systems. First, we show that the spatially inhomogeneous non-equilibrium steady state of an incompressible heat-conducting vis- coelastic fluid, which occupies a mechanically isolated vessel with walls kept at spatially non-uniform...