Baire and Harmonic Functions

Abstract

Title: Baire and Harmonic Functions Author: Petr Pošta Department: Department of Mathematical Analysis Supervisor: prof. RNDr. Jaroslav Lukeš, DrSc., Department of Mathematical Analysis Abstract: The present thesis consists of six research papers. The first four articles deal with topics related to potential theory, Baire-one functions and its important subclasses, in particular differences of semicontinuous functions. The first paper is devoted to the stability of the Dirichlet problem for which a new criterion in terms of Poisson equation is provided. The second paper improves the recent result obtained by Lukeš et al. It shows that the classical Dirichlet solution belongs to the B1/2 subclass of Baire-one functions. A generalization of this result to the abstract context of the Choquet theory on functions spaces is provided. Finally, an abstract Dirichlet problem for the boundary condition belonging to the class of differences of semincontinuous functions is discussed. The third paper concentrates on the Lusin-Menshov property and the approximation of Baire- one and finely continuous functions by differences of semicontinuous and finely continuous functions. It provides an exposition of topologies (various density topologies as well as the fine topologies in both linear and non-linear potential...

Název práce: Baireovské a harmonické funkce Autor: Petr Pošta Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí disertační práce: prof. RNDr. Jaroslav Lukeš, DrSc., Katedra matema- tické analýzy Abstrakt: Tato práce se sestává ze šesti původních publikací. První čtyři se zabý- vají tématy spojenými s teorií potenciálu, funkcemi první Baierovy třídy a jejich podtřídami, zejména rozdíly polospojitých funkcí. První článek je věnován stabi- litě Dirichletovy úlohy, pro niž je dokázáno nové kritérium za pomoci Poissonovy rovnice. Ve druhé publikaci je ukázáno vylepšení nedávného výsledku z článku Lukeš a kol. (2003). Konkrétně je zde dokázáno, že zobecněné řešení klasické Dirichletovy úlohy náleží do podtřídy B1/2 funkcí první Baireovy třídy. Je také ukázáno zobecnění tohoto výsledku v abstraktním kontextu Choquetovy teorie funkčních prostorů. Konečně je zde diskutována abstraktní Dirichletova úloha pro nespojitou okrajovou podmínku náležející do třídy rozdílů polospojitých funkcí. Třetí článek se soustředí na Lusinovu-Menshovovu vlastnost a s ní související problém stejnoměrné aproximace jemně spojitých funkcí první Baireovy třídy rozdílem dvou jemně spojitých a zároveň polospojitých funkcí. Je zde uveden pře- hled topologií (od různých hustotních topologií po jemné topologie vyskytující se v lineární a nelineární...