Lipschitz mappings in the plane

Abstract

V této práci se zabýváme otevřenou Feigeho otázkou, která se ptá, jestli exis- tuje konstantně lipschitzovská bijekce každé n2 -bodové podmnožiny Z2 na pra- videlnou mřížku [n] × [n] pro každé n ∈ N. Dáme tuto otázku do vztahu s již vyřešeným problémem existence hustoty v R2 , která není jakobiánem žádného bi- lipschitzovského zobrazení. Tento problém byl vyřešen Buragem a Kleinerem [1] a nezávisle McMullenem [12]. Předvedeme práci Buraga a Kleinera, zanalyzujeme její vztah k Feigeho problému a navrhneme spojitou formulaci Feigeho otázky ve speciálním případě. Poté předvedeme konstrukci hustoty Buraga a Kleinera, uděláme několik pozorování ohledně vlastností této hustoty a následně zkonstru- ujeme hustotu, která je všude nerealizovatelná jako jakobián bilipschitzovského zobrazení. Dále se zabýváme naší spojitou formulací Feigeho otázky, uděláme ně- kolik pozorování o této otázce a nakonec se pokusíme tuto otázku zodpovědět s použitím dříve zkonstruované všude nerealizovatelné hustoty. Nicméně tento poslední úkol zůstává stále nesplněn. 1

In this thesis we consider an open question of Feige that asks whether there always exists a constantly Lipschitz bijection of an n2 -point subset of Z2 onto a regular grid [n] × [n] for every n ∈ N. We relate this question to an already resolved problem of the existence of a bounded positive measurable density in R2 that is not the Jacobian of any bilipschitz map. This problem was resolved by Burago and Kleiner [1], and independently, by McMullen [12]. We present the work of Burago and Kleiner, analyze its relation to Feige's problem and sug- gest a continuous formulation of Feige's question in a special case. Then we present the Burago-Kleiner density, make several observation about the properties of this density, and after that we construct a density that is everywhere nonrealizable as the Jacobian of a bilipschitz map. Subsequently, we discuss our continuous variant of Feige's question, provide several observation concerning it, and finally, we try to use the everywhere nonrealizable density constructed before to answer our continuous variant of Feige's question. However, this last task still remains incomplete. 1