Skoro disjunktní zjemnění

Abstract

Konstrukce úplně separabilního MAD systému za předpokladu $\mathfrak{s}\leq \mathfrak{a}$ a jeho vztah k disjunktním a skoro disjunktním zjemněním systémů podmnožin $\omega$ na jedné straně a k topologickým vlastnostem $\omega^{*}$ na druhé straně. Ukazuje se, že existence skoro disjunktního zjemnění pro některé velké systémy množin, přesněji pro doplňky hustých ideálů, je ekvivalentní s tím, že každá řídká množina v $\omega^{*}$ je $2^{\omega}$-množina. Existence úplně separabilního MAD systému implikuje tato dvě tvrzení. K jeho konstrukci jsou využity nekonečně-kombinatorické vlastnosti systémů množin definovaných na $\omega$.

Construction of completely separable MAD family under the assumption $\mathfrak{s}\leq \mathfrak{a}$ and its relationship with almost disjoint refinement of systems of subsets of $\omega$ on the one side and with topological properties of $\omega^{*}$ on the other. It is shown that the existence of almost disjoint refinement for complements of dense ideals of subsets of $\omega$ is equivalent with the assumption that every nowhere dense set in $\omega^{*}$ is $2^{\omega}$-set. The existence of completely separable MAD family implies these two assumptions. Its construction is proceeded by means of combinatorics properties of systems of sets defined on $\omega$.