Geometrie komplexní projektivní přímky

Abstract

Title: Geometry of the complex projective line Author: Matěj Šafář Department: Mathematical Institute of Charles University Supervisor: doc. RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D., Mathematical Institute of Charles University Abstract: This thesis deals with the geometry of the complex projective line and its fundamental properties from the perspective of Möbius geometry. The complex projective line is first precisely defined and then geometrically interpreted via stereographic projection as the Riemann sphere. The thesis further studies Möbius transformations as projective automorphisms of the complex projective line, their decomposition into elementary transformations, and their basic properties, in particular the preservation of circular curves, conformality, and continuity. The thesis also examines the cross ratio of four points as an important invariant of projective geometry and its application to the solution of geometric problems. Keywords: complex projective line, Möbius transformation, stereographic pro- jection, cross-ratio

Název práce: Geometrie komplexní projektivní přímky Autor: Matěj Šafář Ústav: Matematický ústav UK Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D., Matematický ústav UK Abstrakt: Práce se zabývá geometrií komplexní projektivní přímky a jejími základ- ními vlastnostmi z pohledu Möbiovské geometrie. Komplexní projektivní přímka je nejprve precizně definována a následně geometricky interpretována pomocí stereografické projekce jako Riemannova sféra. Dále jsou studovány Möbiovy transformace jako projektivní automorfismy komplexní projektivní přímky, jejich rozklad na elementární zobrazení a jejich základní vlastnosti, zejména zachovávání kruhových křivek, konformity a spojitosti. Součástí práce je také rozbor dvojpo- měru čtyř bodů jako významného invariantu projektivní geometrie a jeho využití při řešení geometrických úloh. Klíčová slova: komplexní projektivní přímka, Möbiova transformace, stereografická projekce, dvojpoměr