Coupling, transportní metrika a aplikace pro přibližné počítání

Abstract

An important property of discrete-time Markov chains with finite state space is the rate of convergence of the marginal distribution of the chain to the stationary distribution (i.e. mixing rate). If we construct a coupling of two Markov chains with the same transition matrix, where one starts from a stationary distribution and the other from a fixed state, we can use it to estimate the mixing rate. The main goal of this thesis is to describe how we can construct such a coupling using the transportation metric, and to apply this method to approximate counting of all proper colorings of the graph. 1

Důležitou vlastností markovských řetězců s diskrétním časem a konečnou množinou stavů je rychlost konvergence marginálního rozdělení řetězce ke stacionárnímu rozdě- lení (neboli rychlost mixingu). Pokud zkonstruujeme coupling dvou markovských řetězců se stejnou maticí pravděpodobností přechodu, kdy jeden startuje ze stacionárního rozdě- lení a druhý z pevného stavu, můžeme ho použít k odhadu rychlosti mixingu. Cílem práce je popsat, jak můžeme takový coupling sestrojit pomocí transportní metriky, a aplikovat tuto metodu při přibližném počítání prvků množiny všech přípustných obarvení grafu. 1