Prime geodesic theorem for the Picard manifold

Abstract

The goal of this thesis is to obtain a weighted first moment of the error term of the approximation of the counting function of prime geodesics on the Picard variety SL(2, [i])\H3 . The group SL(2, ) acts on the 3-dimensional hyperbolic space H3 . We choose a discrete subgroup SL(2, [i]) called the Picard group and study its action on the hyperbolic space. A matrix that fixes two points on the boundary of H3 is called hyperbolic or loxodromic. These matrices have a similar asymptotic behaviour as primes in number theory. The counting function ψg(X) counts the number of conjugacy classes of these matrices with norm less than X. This function asymptotically grows as X and the error term is the difference ψg(X) − X. The error can be explicitly written using the Selberg trace formula which relates geometrical information with the spectrum of the Laplace operator on the Picard manifold. This is used to calculate the weighted first moment of the error explicitly. 1

Cíl této práce je získat vážený první moment chybového členu aproximace počítací funkce prvogeodesik na Picardově varietě SL(2, [i])\H3 . Grupa SL(2, ) působí na 3- rozměrný hyperbolický prostor H3 . Vybereme diskrétní podgrupu SL(2, [i]) nazývanou Picardova grupa a budeme studovat její působení na hyperbolickém prostoru. Matice která fixuje dva body na hranici H3 se jmenuje hyperbolická nebo loxodromická. Tyto matice mají podobné asymptotické chování jako prvočísla v teorii čísel. Počítací funkce ψg(X) počítá číslo konjugačních tříd těchto matic s normou menší než X. Tato funkce asymtoticky roste jako X a chybový člen je rozdíl ψg(X) − X. Tato chyba jde explicitně spočítat pomocí Selbergovy věty o stopě, která dává vztah mezi geometrickými infor- macemi na Picardově varietě a spektru Laplacova operátoru. Tuto větu použijeme k vypočítání prvního momentu chyby. 1