Classical operators of harmonic analysis and Sobolev embeddings on rearrangement-invariant function spaces

Abstract

Boundedness properties of some classical operators of harmonic analysis (namely the Hilbert and Riesz transforms, the Riesz potentials and (fractional and nonfractional) maximal operators) as well as certain Sobolev-type embeddings on the entire space are studied. The compactness of Sobolev trace embeddings is also investigated. The focus is on the optimality of the results within the class of rearrangement-invariant function spaces. The aforementioned questions are reduced to equivalent problems concerning appropriate Hardy-type operators acting on functions of a single variable. The behavior of the Hardy-type operators on rearrangement-invariant function spaces is investigated first. The results concerning the Hardy-type operators are used as the building blocks from which together with known results from the literature the other results are obtained. To illustrate possible applications, general results are accompanied by particular exam- ples. The results presented in this thesis are based on some of the papers authored or coauthored by the author. 1

Je zkoumána omezenost jistých klasických operátorů harmonické analýzy (jmenovitě Hilbertova a Rieszova transformace, Rieszovy potenciály a (frakční i nefrakční) maximální operátory) a platnost jistých sobolevových vnoření na celém prostoru. Kompaktnost ope- rátoru stop pro Sobolevovy prostory je také zkoumána. Důraz je kladen na optimalitu výsledků ve třídě prostorů funkcí s normou invariantní vůči nerostoucímu přerovnání. Zmíněné problémy jsou zredukovány na ekvivalentní problémy týkající se vhodných ope- rátorů Hardyho typu, které jsou definovány na funkcích jedné proměnné. Chování těchto operátorů Hardyho typu na prostorech funkcí s normou invariantní vůči nerostoucímu přerovnání je zkoumáno jako první. Výsledky týkající se operátorů Hardyho typu jsou poté použity jako stavební kameny, ze kterých spolu se známými výsledky z literatury jsou ostatní výsledky odvozeny. Pro ilustraci možného použití jsou obecné výsledky doprová- zeny konkrétními příklady. Výsledky prezentované v této disertační práci jsou založeny na výsledcích z některých článků, jichž je autor této práce autorem či spoluautorem. 1