Univerzální kvadratické formy a odhady stop celistvých prvků

Abstract

Cílem této práce je studovat počet proměnných univerzálních kvadratických forem v číselných tělesech. Konkrétně, uvádíme zde celý důkaz věty o existenci nekonečně mnoha totálně reálných kvadratických forem libovolného stupně 2n, nad kterými je počet pro- měnných univerzálních kvadratických forem libovolně velký. Klíčovým krokem důkazu je odhad stopy celistvého prvku za pomocí jednoho ze Stieltjesových odhadů diskriminantu. Na tyto odhady se v práci více zaměřujeme a uvádíme nástroje pro jejich důkazy. Dále se v práci zabýváme elementárními odhady počtu celistvých prvků s omezenou stopou a uvádíme přehled potřebné teorie ke stopám a diskriminantům. 1

The aim of this work is to study the number of variables of universal quadratic forms in number fields. In particular, we provide the whole proof of the following theorem: In each degree 2n, there are infinitely many totally real number fields that require universal quadratic forms to have arbitrarily large rank. The key step in this proof is to estimate the trace of an algebraic integer using one of the Stieltjes's bounds of discriminant. We focus on these bounds and introduce tools for proving them. Furthermore, we deal with some elementary estimates of the number of algebraic integers whose trace is bounded and summarize the relevant theory of traces and discriminants. 1