Analysis of evolutionary problems with bounded gradients

Abstract

We study nonlinear evolutionary partial differential equations that can be viewed as a generalization of the heat equation where the temperature gradient is bounded but the heat flux is apriori only a measure. We consider this system in spatially periodic setting and use higher differentiability techniques to prove the existence and uniqueness of weak solution with integrable heat-flux for all values of the material parameter a. Under some more restrictive assumptions on a, we prove higher integrability of the heat flux. 1

V práci jsou studovány nelineární evoluční parciální diferenciální rovnice, které mohou být interpretovány jako taková zobecnění rovnice vedení tepla, je- jichž teplotní gradient je a priori omezený, zatímco tepelný tok je pouze míra. Řešíme úlohu s periodickými okrajovými podmínkami a pomocí metod teorie regularity dokážeme existenci a jednoznačnost slabého řešení s integrovatelným tepelným tokem pro všechny hodnoty materiálového parametru a. Pro hod- noty tohoto parametru z určitého intervalu dále ukážeme vyšší integrovatelnost tepelného toku. 1