The tree property and the continuum function

Abstract

The continuum function is a function which maps every infinite cardinal κ to 2κ. We say that a regular uncountable cardinal κ has the tree property if every κ-tree has a cofinal branch, or equivalently if there are no κ-Aronszajn trees. We say that a regular uncountable cardinal κ has the weak tree property if there are no special κ-Aronszajn trees. It is known that the tree property, and the weak tree property, have the following non-trivial effect on the continuum function: (∗) If the (weak) tree property holds at κ++, then 2κ ≥ κ++. In this thesis we show several results which suggest that (∗) is the only restriction which the tree property and the weak tree property put on the continuum function in addition to the usual restrictions provable in ZFC (monotonicity and the fact that the cofinality of 2κ must be greater than κ; let us denote these conditions by (∗∗)). First we show that the tree property at ℵ2n for every 1 ≤ n < ω, and the weak tree property at ℵn for 2 ≤ n < ω, does not restrict the continuum function below ℵω more than is required by (∗), i.e. every behaviour of the continuum function below ℵω which satisfies the conditions (∗) and (∗∗) is realisable in some generic extension. We use infinitely many weakly compact cardinals (for the tree property) and infinitely many Mahlo...

Funkce kontinua je funkce, která libovolnému nekonečnému kardinálu κ přiřadí hodnotu 2κ. Řekneme, že regulární nespočetný kardinál κ má stromovou vlastnost, jestliže každý κ-strom má kofinální větev, ekvivalentně, že neexistuje žádný κ-Aronszajnův strom. Obdobně definujeme, že regulární nespočetný kardinál κ má slabou stromovou vlastnost, jestliže neexistuje žádný speciální κ-Aronszajnův strom. Stromová vlastnost a slabá stromová vlastnost mají následující netriviální efekt na funkci kontinua: (*) Jestliže (slabá) stromová vlastnost platí na κ++, pak 2κ ≥ κ++. V této práci se věnujeme několika výsledkům, které naznačují, že (*) je jediná restrikce, kterou na funkci kontinua kladou stromová vlastnost a slabá stromová vlastnost kromě obvyklých restrikcí dokazatelných v ZFC (monotonie a tvrzení, že kofinalita 2κ musí být větší než κ; označme tyto restrikce (**)). Nejprve ukážeme, že stromová vlastnost na ℵ2n pro každé 1 ≤ n < ω a slabá stromová vlastnost na ℵn pro 2 ≤ n < ω neovlivňují funkci kontinua pod ℵω víc, než je dáno podmínkami (*) a (**), tedy že každé chování funkce kontinua pod ℵω, které splňuje podmínky (*) a (**), je realizovatelné v nějaké generické extenzi. Pro důkaz stromové...