Pokrývání kružnice náhodnými oblouky

Abstract

In this thesis we consider the geometric probability problem of covering a circle with random arcs. We randomly place arcs of a fixed length on a circle of unit circumference. First we find the probability of covering the entire circle with a finite number of arcs of the same length and show some of its numerical values. Next we study the random variable describing the size of the covered part of the circle and the expected number of arcs needed to fully cover the circle if we place the arcs sequentially. Finally, we solve a similar problem of covering the circle by a countably infinite number of arcs of different lengths. 1

V této práci řešíme úlohu geometrické pravděpodobnosti pokrývání kružnice náhodnými oblouky. Náhodně umisťujeme oblouky pevně dané délky na kružnici jednotkové délky. Nejprve je nalezena prav- děpodobnost pokrytí celé kružnice konečným počtem oblouků stejné délky a jsou ukázány některé její konkrétní hodnoty. Dále zkoumáme náhodnou veličinu popisující velikost pokryté části kružnice a oče- kávaný počet oblouků potřebných k úplnému pokrytí kružnice při postupném pokrývání. Nakonec je vyřešena obdobná úloha pro pokrývání kružnice spočetně mnoha oblouky různých délek. 1