3-Coloring Graphs on Torus
3-barevnost grafů na toru
diplomová práce (OBHÁJENO)
Zobrazit/ otevřít
Trvalý odkaz
http://hdl.handle.net/20.500.11956/90475Identifikátory
SIS: 176344
Kolekce
- Kvalifikační práce [10690]
Autor
Vedoucí práce
Oponent práce
Šámal, Robert
Fakulta / součást
Matematicko-fyzikální fakulta
Obor
Diskrétní modely a algoritmy
Katedra / ústav / klinika
Informatický ústav Univerzity Karlovy
Datum obhajoby
6. 9. 2017
Nakladatel
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakultaJazyk
Angličtina
Známka
Výborně
Klíčová slova (česky)
barvení, grafy, torusKlíčová slova (anglicky)
coloring, graph, torusDvořák et al. dokázali, že 4-kritická graf bez trojúhelníků vnořený v toru má pouze omezeně mnoho stěn délky větší než 4 a velikost těchto stěn je také omezena. V této práci studujeme operaci redukce těchto vnořených grafů pomocí sjednocení protějších vrcholů ve 4-stěnách. Představíme počítačem asistovaný důkaz ukazující, že existují právě čtyři 4-kritické grafy bez trojúhelníků vnořené do toru, které jsou irreducibilní, tedy na ně není možné použít redukci bez vzniku trojúhelníků. Pomocí tohoto výsledku ukážeme několik vlastností, které nutně platí pro jakýkoliv 4-kritický graf bez trojúhelníků vnořený v toru. Především ukážeme, že každý takový graf má nejvýše čtyři 5-stěny nebo 6-stěnu a dvě 5-stěny nebo 7-stěnu a 5-stěnu, a k tomu alespoň sedm 4-stěn.
The theory of Dvořák et al. shows that a 4-critical triangle-free graph embedded in the torus has only a bounded number of faces of length greater than 4 and that the size of these faces is also bounded. We study the natural reduction in such embedded graphs-identification of opposite vertices in 4-faces. We give a computer-assisted argument showing that there are exactly four 4-critical triangle-free irreducible toroidal graphs in which this reduction cannot be applied without creating a triangle. Using this result we demonstrate several properties that are necessary for every triangle-free graph embedded in the torus to be 4-critical. Most importantly we demonstrate that every such graph has at most four 5-faces, or a 6-face and two 5-faces, or a 7-face and a 5-face, in addition to at least seven 4-faces.