Urnové modely s náhodným vracením

Abstract

V předložené práci čtenářům přiblížíme specifické zobecnění urnových schémat. Blíže prostudujeme urnové modely s náhodným vracením, pro které je typické, že počet kuliček v urně závisí na výsledcích z předešlých tahů. Podrobně popíšeme Ganiho model, kterým můžeme modelovat šíření epidemie v různých populacích. Nejprve budeme předpokládat homogenní populaci, pro kterou odvodíme rozdělení počtu nově infikovaných jedinců pomocí metod využívajících pravděpodobnostní vytvořující funkce. Také odvodíme střední hodnotu a rozptyl rozdělení. Potom bu- deme předpokládat více reálnou situaci, tedy nehomogenní populaci, pro kterou odvodíme taky pravděpodobnostní rozdělení a rovněž základní charakteristiky rozdělení. Praktickou část práce tvoří simulační studie, jejíž výsledky porovnáme s hodnotami získanými z odvozených vzorců. Na závěr se model pokusíme co nejvíce aplikovat v praxi tím, že se budeme snažit zjistit, kolik osob v populaci musíme naočkovat, aby byl počet nakažených nižší než 5 % celkové populace. 1

The thesis purpose is to discuss urn models where the probability of success at any trial depends upon the number of previous successes. Such a scheme allows us to estimate the number of HIV cases among intravenous drug users. The coef- ficients in known probability generating function will be derived for the number of new infectives generated in both homogenous and inhomogenous population. The expectations and variances of the number of new infectives are also derived for both cases. These derived values will be verified for some fixed number of infectives and susceptibles by simulations. In the end of this thesis the studied model will be applied on a practical example where the effect of vaccination will be studied. 1