Structural Graph Theory

Abstract

of doctoral thesis Structural graph theory Jan Hladký In the thesis we make progress on the Loebl-Komlós-Sós Conjecture which is a classic problem in the field of Extremal Graph Theory. We prove the following weaker version of the Conjecture: For every α > 0 there exists a number k0 such that for every k > k0 we have that every n-vertex graph G with at least (1 2 +α)n vertices of degrees at least (1+α)k contains each tree T of order k as a subgraph. The proof of our result follows a strategy common to approaches which employ the Szemerédi Regularity Lemma: the graph G is decomposed, a suitable combinatorial structure inside the decomposition is found, and then the tree T is embedded into G using this structure. However the decomposition given by the Regularity Lemma is not of help when G sparse. To surmount this shortcoming we develop a decomposition technique that applies also to sparse graphs: each graph can be decomposed into vertices of huge degrees, regular pairs (in the sense of the Regularity Lemma), and two other components each exhibiting certain expander-like properties. The results were achieved in a joint work with János Komlós, Diana Piguet, Miklós Simonovits, Maya Jakobine Stein and Endre Szemerédi. 1

disertační práce Structural graph theory Jan Hladký V práci se zabýváme domněnkou Loebla, Komlóse a Sósové, která je kla- sickým problémem extremální teorie grafů. Dokážeme následující slabou verzi domněnky: pro libovolné α > 0 existuje číslo k0 takové, že pro každé k > k0 a každý n-vrcholový graf G obsahující alespoň (1 2 + α)n vrcholů stupně ale- spoň (1 + α)k platí, že G obsahuje každý strom T na k vrcholech jako podgraf. Důkaz tohoto výsledku sleduje strategii běžnou v přístupech využívajících Szemerédiho regularity lemma: nejdřív je graf G rozložen a v tomto rozkladu je nalezena kombinatorická struktura s vhodnými vlastnostmi. V posledním kroku je strom T vnořen do G pomocí této struktury. Rozklad zaručený původním regularity lemmatem je ovšem triviálni pokud je G řídký. Abychom obešli toto omezení, vyvineme rozkladovou techniku která umožňuje postihnout i strukturu řídkých grafů: každý graf může být rozložen do vrcholů s velkým stupněm, regulárních párů (ve smyslu regularity lemmatu) a dvou dalších částí, které mají jisté expandující vlastnosti. Výsledky v této práci byly dosaženy s následujícími spolupracovníky: János Komlós, Diana Piguet, Miklós Simonovits, Maya Jakobine Stein,...