The generalized Dolbeault complexes in Clifford analysis

Abstract

In the thesis we study particular sequences of invariant differ- ential operators of first and second order which live on homogeneous spaces of a particular type of parabolic geometries. We show that they form a reso- lution of the kernel of the first operator and that they descend to resolutions of overdetermined, constant coefficient, first order systems of PDE's called the k-Dirac operators. This gives uniform description of resolutions of the k-Dirac operator studied in Clifford analysis. We give formula for second order operators which appear in the resolutions. 1

Hlavním tématem této disertační práce jsou konkrétní posloup- nosti invariantních diferenciálních operátorů prvního a druhého řádu, ktere žijí na plochém modelu jednoho typu parabolické geometrie. V práci je ukazáno, že tyto posloupnosti tvoří resolventu jádra prvního operátoru a že přirozeným způsobem indukují resolventy přeurčených systemů parcialních diferenciálních rovnic prvního řadu s konstantními koefiecienty. Tyto systémy jsou v literatuře známy jako k-Diracovy operátory. Takto dostáváme ucelený popis resolvent těchto systémů. V práci je navíc uveden vzorec pro operátory druhého řádu z těchto resolvent. 1