Trajektorie Wienerova procesu
Path analysis of Wiener Process
bachelor thesis (DEFENDED)

View/ Open
Permanent link
http://hdl.handle.net/20.500.11956/56036Identifiers
Study Information System: 76446
Collections
- Kvalifikační práce [11266]
Author
Advisor
Referee
Seidler, Jan
Faculty / Institute
Faculty of Mathematics and Physics
Discipline
General Mathematics
Department
Department of Probability and Mathematical Statistics
Date of defense
9. 9. 2013
Publisher
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakultaLanguage
Czech
Grade
Good
Keywords (Czech)
Wienerův proces, trajektorie, nediferencovatelnost, kvadratická variace, Skorochodovo vnořeníKeywords (English)
Wiener process, path, nondifferentiability, quadratic variation, Skorohod embeddingV této práci se zabýváme zkoumáním vlastností trajektorií Wienerova procesu. V úvodní kapitole se podíváme na to, jak se dá dokázat existence Wienerova procesu a jaké jsou jeho základní vlastnosti. Druhá kapitola je věnovaná analytickým vlastnostem jako je monotónie, diferencovatelnost, hölderovskost a kvadratická variace trajektorií. Ve třetí kapitole zadefinujeme náhodnou procházku a zkoumáme na ní princip reflexe a rozdělení maxima trajektorií. Následně uvedeme analogie pro Wienerův proces. Ve čtvrté kapitole se zaměřujeme na Skorochodovo vnoření a jeho použití při dokazování klasické centrální limitní věty. Na závěr pomocí úvodní kapitoly o existenci Wienerova procesu konstruujeme simulaci Wienerova procesu. S využitím simulace ilustrujeme některé vlastnosti trajektorií. V textu práce je několik autorem samostatně řešených problému, které jsou tématicky začleněny k různým kapitolám. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
In this thesis we research and introduce several properties of paths of a Wiener process. At first we present a way to prove existence of a Wiener process and then we discuss its basic properties. The second chapter is devoted to analytical properties of Wiener's paths including monotonicity, differentiability, Hölder continuity and quadratic variation. In the third chapter we research the reflection principle and the distribution of maxima of paths in the case of a random walk and then also in the case of a Wiener process. The fourth chapter concentrates on the Skorohod embedding and its application in the proof of the classic central limit theorem. Finally, using the results of the first chapter we simulate a path of a Wiener process and illustrate some of the properties discussed earlier. To demonstrate the concepts, several problems were included in the relevant chapters together with an author's solution. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)