Extending Partial Representations of Graphs

Abstract

V této práci se zabýváme geometrickými průnikovými reprezentacemi grafů. Pro danou třídu se známý problém rozpoznávání ptá, jestli graf na vstupu náleží do této třídy. Studujeme zobecnění tohoto problému nazvané rozšiřování částečných reprezen- tací. Vstup je tvořen grafem spolu s částečnou reprezentací, jinými slovy část grafu je předkreslena. Problém se ptá, jestli je možné tuto částečnou reprezentaci rozšířit na reprezentaci celého grafu. Tento problém studujeme pro třídy intervalových grafů, vlastních intervalových grafů, jednotkových intervalových grafů a chordálních grafˇu (ve formě reprezentací jako podstromy ve stromě). Popisujeme lineární algoritmy pro první dvě třídy a téměř kvadratický algoritmus pro jednotkové intervalové grafy. Pro chordální grafy uvažujeme různé verze problému a ukazujeme, že skoro všechny jsou NP-úplné. Přestože třídy vlastních a jednotkových intervalových grafů jsou si rovny, problém rozšiřování částečných reprezentací je rozlišuje. Jednotkové intervalové grafy kladou dodatečné podmínky týkající se přesných pozic intervalů. V práci popisujeme novou strukturu jednotkových intervalových reprezentací, která umožňuje tyto dodatečné...

In this thesis, we study geometric intersection representations of graphs. For a fixed class, the well-known recognition problem asks whether a given graph belongs to this class. We study a generalization of this problem called partial representation extension. Its input consists of a graph with a partial representation, so a part of the graph is pre-drawn. The problems asks whether this partial representation can be extended to a representation of the entire graph. We study this problem for classes of interval graphs, proper interval graphs, unit interval graphs and chordal graphs (in the setting of subtrees-in-tree representations). We give linear-time algorithms for the first two classes and an almost quadratic-time algorithm for unit interval graphs. For chordal graphs, we consider different versions of the problem and show that almost all cases are NP-complete. Even though the classes of proper and unit interval graphs are known to be equal, the partial representation extension problem distinguishes them. For unit interval graphs, it poses additional restrictions concerning precise positions of intervals, and we describe a new structure of unit interval representations to deal with this. 1