Teoretické otázky popisu chování krylovovských metod

Abstract

Předkládaná diplomová práce se zabývá analýzou konvergence metody GMRES. Vysvětluje základní principy metod CG, MINRES a GMRES. Práce shrnuje některé známé konvergenční výsledky týkající se těchto metod. Shrnu- je také známé charakterizace matic a pravých stran generujících shodné Krylovovské reziduální prostory. Jsou ukázány souvislosti a rozdly mezi různými úhly pohledu na analýzu rychlosti konvergence metody GMRES. Předpokládáme, že pokud se konvergenční křivka metody GMRES apliko- vané na matici , jež není normální, a pravou stranu chová, jako by byla určena vlastními čísly matice , potom existuje téměř normální matice, jež má shodné spektrum, jako matice a pro pravou stranu , shodnou GMRES konvergenční křivku, jako matice (Předpokládáme, že počáteční aproxi- mace 0 = 0). K prozkoumání tohoto předpokladu je provedeno několik nu- merickch experimentů. Předkládaná práce popisuje nepublikovaný výsledek Gérarda Meuranta, vzorec pro normu k-té chyby metody GMRES aplikované na matici a pravou stranu a odvození tohoto vzorce. Dále je odvozen horní odhad -té chyby GMRES. Tento odhad je minimalizován přes spek- trum.

The presented thesis is focused on the GMRES convergence analysis. The basic principles of CG, MINRES and GMRES are briefly explained. The thesis summarizes some known convergence results of these methods. The known characterizations of the matrices and the right hand sides gen- erating the same Krylov residual spaces are summarized. Connections and the differences between the different points of view on GMRES convergence analysis are shown. We expect that if the convergence curve of GMRES applied to the nonnormal matrix and the right hand side seems to be de- termined by the eigenvalues of the matrix then exists a matrix that is close to normal and has the same spectrum as the matrix and for the right hand side has the same GMRES convergence curve (We assume that the initial approximation 0 = 0). Several numerical experiments are done to examine this assumption. This thesis describes an unpublished result of Gérard Meu- rant which is the formula for the norm of the -th error of GMRES applied to the matrix and right hand side and its derivation. The upper estimate of the -th GMRES error is derived. This estimate is minimized via spectrum.