Konečné prvky v elektromagnetismu kompatibilní s De Rhamovým diagramem

Abstract

Název práce: Konečné prvky v elektromagnetismu kompatibilní s de Rha- movým diagramem Autor: Vojtěch Rybář Katedra (Ústav): Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: prof. Ing. Ivo Doležel, CSc. Abstrakt: Předložená práce je věnována konečným prvkům nejnižšího řádu pro řešení časově periodických Maxwelových rovnic ve dvou di- menzích. Úspěšná aproximace těchto rovnic vyžaduje, aby prostory koneč- ných prvků byly kompatibilní s de Rhamovým diagramem. Avšak nej- používanější bázové funkce (tzv. Whitneyho funkce) tomuto diagramu nevyhovují. Proto zkonstruujeme kompatibilní báze a studujeme jejich vlastnosti. Protože tato konstrukce není jednoznačná, vyšetřujeme vliv konkrétního výběru báze na podmíněnost příslušných matic konečných prvků. Nakonec využíváme speciální strukturu matic tuhosti, navrhuje- me několik iteračních metod a porovnáváme jejich konvergenci. Klíčová slova: Maxwellovy rovnice, hranové konečné prvky, de Rhamův diagram, báze prostoru konečných prvků 1

Title: Finite elements for electromagnetics compatible with de Rham di- agram Author: Vojtěch Rybář Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: prof. Ing. Ivo Doležel, CSc. Abstract: The present work is devoted to the lowest-order finite elements for solving time-harmonic Maxwell's equations in two dimensions. Suc- cessful approximation of these equations requires the finite element spaces to be compatible with the de Rham diagram. However, the most often used basis functions (the Whitney functions) do not comply with this diagram. Therefore, we construct compatible bases and study their prop- erties. Since the construction is not unique, we investigate the influence of the particular choice on the conditioning of the corresponding finite element matrices. Finally, we utilize the special structure of the stiffness matrices, propose a few iterative schemes, and compare their convergence. Keywords: Maxwell's equations, edge finite element, de Rham diagram, finite element basis 1