Separabilní redukce ve funkcionální analýze

Abstract

V předložené práci zkoumáme, zda se některé vlastnosti množin a funkcí dají separabilně redukovat. To jest, zda platí, že množina (funkce) má danou vlastnost právě tehdy, když ji má ve speciálním separabilním podprostoru, závislém na této množin (funkci). Zabýváme se vlastnostmi množin "býti hustá, řídká, první kategorie, reziduální a pórovitá" a vlastnostmi funkcí "býti spojitá, polospojitá a fréchetovsky diferencovatelná". Jednotlivé výsledky je možné díky vhodně zvolené metodě generování podprostorů kombinovat, a tak dostáváme i separabilní redukce vlastností funkcí typu "funkce je spojitá na husté podmnožin", "funkce je fréchetovsky diferencovatelná na reziduální podmnožin", atd. Nakonec ukazujeme některé aplikace, které rozšiřují platnost tvrzení dokázaných Zajíčkem, Lindenstraussema Preissem.

In the presented work we are studying, whether some properties of sets (functions) can be separably reduced. It means, whether it is true, that a set (function) has given property if and only if it has this property in a special separable subspace, dependent only on the given set (function). We are interested in properties of sets "be dense, nowhere dense, meager, residual and porous" and in properties of functions "be continuous, semicontinuous and Fréchet di erentiable". Out method of creating separable subspaces enables us to combine our results, and so we easily get separable reductions of function properties such as "be continuous on a dense subset", "be Fréchet di erentiable on a residual subset", etc. Finally, we show some applications of presented separable reduction theorems, which enable us to show, that some propositions proven by Zajíček, Lindenstrauss and Preiss hold under other assumptions as well.