Markovovy procesy se spojitou množinou stavů

Abstract

Markov processes represent a special class of stochastic processes whose evolution depends only on the current state and not on the entire history. In this work, we first present some basic properties of these processes and then focus on those that are solutions to stochastic differential equations. We subsequently address the question of the existence of an invariant measure, which is closely related to the existence of stationary solutions. We relax the assumptions of a known sufficient condition and then use this condition to demonstrate when the existence of an invariant measure for a one-dimensional equation is guaranteed. Finally, we derive an easily verifiable sufficient condition for the case when certain asymptotic properties of the coefficients of the one-dimensional equation are known.

Markovovy procesy představují speciální třídu náhodných procesů, jejichž vývoj závisí pouze na současném stavu a nikoli na celé historii. V této práci nejprve představíme ně- které základní vlastnosti těchto procesů a poté se zaměříme na procesy, které jsou řešením stochastických diferenciálních rovnic. Následně se zabýváme otázkou existence invariantní míry, která je úzce spojena s existencí stacionárních řešení. Zeslabíme předpoklady známé postačující podmínky a následně pomocí této podmínky ukážeme, kdy máme zaručenu existenci invariantní míry jednorozměrné rovnice. Na závěr odvodíme snadno ověřitelnou postačující podmínku pro případ, kdy známe určité asymptotické vlastnosti koeficientů jednorozměrné rovnice.