Halfspace depth for location and scatter: robustness and minimax optimality

Abstract

Táto diplomová práca skúma koncepty polopriestorovej hĺbky pre lokáciu a disperziu. Klasická polopriestorová hĺbka pre lokáciu je dobre preskúmaný nástroj neparametrickej štatistiky, zatiaľ čo polopriestorová hĺbka disperzných matíc predstavuje novší koncept, ktorý je v súčasnosti predmetom aktívneho výskumu. Hlavným cieľom tejto práce je pred- staviť základné vlastnosti polopriestorovej hĺbky pre lokáciu aj disperziu, so zvláštnym dôrazom na robustnosť príslušných mediánov. Významná časť diplomovej práce je veno- vaná skúmaniu minimax optimality lokačného a disperzného polopriestorového mediánu. Poskytuje detailný rámec pre skúmanie rýchlosti konvergencie odhadov a minimax op- timálnych odhadov. S použitím tohto rámca práca ukazuje, že lokačný polopriestorový medián aj disperzný polopriestorový medián dosahujú minimax optimálne rýchlosti kon- vergencie v Huberovom kontaminačnom modeli. Táto vlastnosť indikuje robustnosť a zároveň optimalitu rýchlosti konvergencie týchto odhadov. 1

This thesis explores the concepts of location and scatter halfspace depth. Location halfspace depth is a well-established tool in nonparametric statistics, while scatter halfspace depth represents a newer concept that is currently undergoing active research. The pri- mary goal of this work is to present the fundamental properties of halfspace depth for both location and scatter, with a special emphasis on the robustness of the correspon- ding medians. A significant portion of the thesis is dedicated to examining the minimax optimality of the location and scatter halfspace median. It provides a detailed framework concerning the rates of convergence and minimax optimal estimators. By employing this framework, the thesis demonstrates that both the location halfspace median and the scat- ter halfspace median achieve minimax optimality within Huber's contamination model. This finding underscores both the robustness and the rate optimality of these estimators. 1