Convergence in Banach Spaces

Abstract

Tato práce se skládá ze tří odborných článků. Společným tématem prvních dvou je možnost iterace slabě∗ derivovaných množin v duálních Banachových prostorech. V prvním článku dokážeme, že v duálu jakéhokoliv nereflexivního prostoru můžeme vždy na- jít konvexní množinu řádu n pro každé n ∈ N a konvexní množinu řádu ω+1. Tím zobec- níme Ostrovkého charakterizaci reflexivních prostorů jako těch prostorů, pro které slabě∗ derivované množiny splývají se slabým∗ uzávěrem pro konvexní množiny. Ve druhém článku dokážeme iterovanou verzi dalšího výsledku Ostrovského - že duál Banachova prostoru X obsahuje podprostor, jehož slabě∗ derivovaná množina je vlastní normově hustý podprostor, právě když X je nekvazireflexivní a obsahuje nekonečnědimenzionální podprostor se separabilním duálem. Ve třetím článku studujeme kvantitativní výsledky týkající se ξ-Banach-Saksových množin a slabých ξ-Banach-Saksových množin. Poskyt- neme kvantitativní analogie charakterizací slabých ξ-Banach-Saksových množin za po- mocí ℓξ+1 1 spreading modelů a kvantitativní verzi vztahu ξ-Banach-Saksových množin, slabých ξ-Banach-Saksových množin, normové kompaktnosti a slabé kompaktnosti. Tyto výsledky použijeme k definování nové míry slabé nekompaktnosti a nakonec poskytneme relevantní příklady. 1

The thesis consists of three articles. The common theme of the first two articles is the possibility of iterating weak∗ derived sets in dual Banach spaces. In the first article we prove that in the dual of any non-reflexive Banach space we can always find a convex set of order n for any n ∈ N, and a convex set of order ω +1. This result extends Ostrovskii's characterization of reflexive spaces as those spaces for which weak∗ derived sets coincide with weak∗ closures for convex sets. In the second article we prove an iterated version of another result of Ostrovskii, that a dual to a Banach space X contains a subspace whose weak∗ derived set is proper and norm dense, if and only if X is non-quasi-reflexive and contains an infinite-dimensional subspace with separable dual. In the third article we study quantitative results concerning ξ-Banach-Saks sets and weak ξ-Banach-Saks sets. We provide quantitative analogues to characterizations of weak ξ-Banach-Saks sets using ℓξ+1 1 spreading models and a quantitative version of the relation of ξ-Banach-Saks sets, weak ξ-Banach-Saks sets, norm compactness and weak compactness. We use these results to define a new measure of weak non-compactness and finally give some relevant examples. 1