Homoclinic Chaos in Black-hole Fields

Abstract

Homoklinická orbita je křivka, která se v nekonečně vzdálené minulosti a budoucnosti asymptoticky přibližuje ke stejné invariantní množině. Existence homoklinických orbit je charakteristickou vlastností prostoročasů statických černých děr. Regularita chování geodetického pohybu kolem černých děr je proto jednoduše narušena malými změnami v původním prostoročase. Povaha dynamického systému kolem perturbované orbity závisí na způsobu interakce okolních stabilních a nestabilních variet. Pokud se variety protínají transversálně, homoklinická orbita se rozpadá na chaotické vrstvy. V této práci je nejprve připomenuta matematická formulace chaosu pomocí teorie dynam- ických systémů a jsou popsány základní vlastnosti geodetického pohybu v cirkulárních prostoročasech. Následně je prostoročas kolem statické černé díry popsán klasickými aproximacemi pomocí pseudo-newtonovských potenciálů -logaritmického a Paczyński- Wiita - a metodou efektivního potenciálu je pro ně nalezen tvar homoklinických orbit. Dále je provedena analýza obecného cirkulárního prostoročasu a geodetických rovnic v axiálně symetrických prostoročasech. Na závěr je vyšetřen pohyb ve Schwarzschildově prostoročasu se statickým, axiálně symetrickým externím zdrojem. 1

The existence of homoclinic orbits is an intrinsic feature of static black hole's space- time. The regularity of the geodesic motion around these black holes can therefore be quickly disrupted due to the small changes in the original space-time. The nature of the dynamics around a perturbed orbit depends on the manner of intersection of the surrounding stable and unstable manifolds. If they intersect transversally, the homoclinic orbit splits into chaotic layers. In this thesis, the mathematical formulation of chaotic dynamical systems and main properties of the geodesic motion in circular space-times are discussed. Thereupon, the space-time around a static black hole is reproduced by classical approximations by using Paczyński-Wiita and logarithmic pseudo-Newtonian potentials. By means of the effective potential method, the homoclinic orbits are found for these potentials. In addition, the analysis of the general circular space-time is done and the equations of geodesic motion in axially symmetric space-times are examined. Finally, the motion in a Schwarzschild space-time with a static axially symmetric external source is inspected. 1