Geometric integrators

Abstract

Tato práce v krátkosti uvede Hamiltonovský formalismus a symplektickou geometrii. Hamiltonvská teorie je aplikována na tři systémy - matematické kyvadlo, částici v cen- trálním potenciálním poli a rotaci tuhého tělesa. Hlavním cílem práce je zavést několik symplektických integrátorů: metody symplektického Eulera, Verletovy metody, metodu pravidla o střední hodnotě a parametrický integrátor. Symplektické integrátory srovná- váme navzájem a také se dvěma nesymplektickými schématy - explicitním Eulerem a Ehrenfestovou metodou. Srovnání prováníme na systému harmonického oscilátoru, čás- tice v centrálním gravitačním poli a rotaci tuhého tělesa. 1

This thesis gives a brief introduction to the Hamiltonian formalism and symplectic geometry. The Hamilton theory is applied on three systems - the pendulum, a parti- cle in a central potential field and rigid body rotation.The main focus of this thesis is to derive several symplectic integrators: the symplectic Euler schemes, Verlet schemes, implicit mid-point rule method and a parametric symplectic integrator. The symplectic integrators will be compared with each other and with two non-symplectic integrators - the explicit Euler scheme and the Ehrenfest integrator. For the comparison we will use harmonic oscillator, a particle in a central gravitational field and rigid body rotation. 1