Nocommutative structures in quantum field theory

Abstract

In this thesis, structures defined via modular operads and properads are generalized to their non-commutative analogs. We define the connected sum for modular operads. This way we are able to construct the graded commutative product on the algebra over Feynman transform of the modular operad. This forms a Batalin-Vilkovisky algebra with symmetry given by the modular operad. We transfer this structure to the cohomology via the Homological perturbation lemma. In particular, we consider these constructions for Quantum closed and Quantum open modular operad. As a parallel project we introduce associative analog of Frobenius properad, called Open Frobenius properad. We construct the cobar complex over it and in the spirit of Barannikov interpret algebras over cobar complex as homological differential operators. Furthermore we present the IBA∞-algebras as analog of well-known IBL∞-algebras. 1

V této práci jsou struktury definované pomocı́ modulárnı́ch operád a pr- operád zobecněny do nekomutativnı́ obdoby. Je definováno "spojovánı́" modulárnı́ operád. Dı́ky tomu jsme schopni zkon- struovat gradovaný komutativnı́ produkt na algebře nad Feynmanovou transfor- macı́ modulárnı́ operády. Tak vznikne Batalin-Vilkoviského algebra se symetriı́ danou modulárnı́ operádou. Přeneseme tuto strukturu na kohomologii pomocı́ Homologického perturbačnı́ho lemmatu. Konkrétně ukazujeme tuto konstrukci pro Quantum-uzavřené a Quantum-otevřené modulárnı́ operády. Souběžně zavádı́me asociativnı́protějšek Frobeniovy properády, kterou nazý- váme Otevřená Frobeniova properáda. Zkonstruujeme pro ni cobar komplex a ve stejném duchu jako Barannikov interpretujeme algebry nad cobar komplexem jako homologické diferenciálnı́ operátory. Dále zavádı́me IBA∞-algebry jako analogie dobře známých IBL∞-algeber. 1