Filtering for Stochastic Evolution Equations

Abstract

Filtrace stochastických evolučních rovnic Vít Kubelka Disertační práce Abstrakt Práce se zabývá problémem lineární filtrace nekonečně-rozměrných gau- ssovských procesů při konečně-rozměrném pozorování. Jsou zde odvozeny integrální rovnice pro filtr a kovarianci chyby odhadu. Obecné výsledky jsou aplikovány na lineární stochastické parciální diferenciální rovnice řízené Gauss-volterrovskými šumy pozorované v konečně mnoha bodech domény a na zpožděné stochastické parciální diferenciální rovnice řízené bílým šumem. Následně je v práci dokázána spojitá závislost filtru a chyby odhadu na parametrech, které se mohou nacházet v signálu i v pozorování. Tyto výsledky jsou aplikovány na signály dané stochastickou rovnicí vedení tepla řízenou dis- tribuovaným nebo bodovým frakcionálním šumem. Zašuměný signál může být pozorován v daných bodech domény, které také mohou záviset na para- metru. 1

Filtering for Stochastic Evolution Equations Vít Kubelka Doctoral thesis Abstract Linear filtering problem for infinite-dimensional Gaussian processes is studied, the observation process being finite-dimensional. Integral equations for the filter and for covariance of the error are derived. General results are applied to linear SPDEs driven by Gauss-Volterra process observed at finitely many points of the domain and to delayed SPDEs driven by white noise. Subsequently, the continuous dependence of the filter and observation error on parameters which may be present both in the signal and the obser- vation process is proved. These results are applied to signals governed by stochastic heat equations driven by distributed or pointwise fractional noise. The observation process may be a noisy observation of the signal at given points in the domain, the position of which may depend on the parameter. 1