Stein-Weissovy gradienty

Abstract

V této práci je popsána konstrukce rotačně invariantních diferenciálních operátorů prvního řádu na Euklidovském prostoru Rn , jak ji vymysleli E. Stein a G. Weiss. Pro tuto konstrukci ukážeme, jak se najde ireducibilní rozklad tenzorového součinu reprezentací grupy Spin(n) a dokážeme rotační invarianci operátoru gradientu. Nakonec použijeme Stein-Weissovu konstrukci na odvození některých již známých diferenciálních operátorů. Jmenovitě ukážeme konstrukci Diracova operátoru na Rn a Hodge-de Rhamova systému diferenciálních rovnic. 1

In this bachelor thesis, we describe the construction of rotation invariant differential operators of first order on the Euklidean space Rn given by E. Stein and G. Weiss. For this construction we show how to find an irreducible decomposition of a tensor product of re- presentations of group Spin(n) into irreducible subrepresetations. We shall also prove the rotation invariance of the gradient operator. Then we apply the Stein-Weiss construction to produce some of well-known differential operators. Namely, we construct the Dirac operator in Rn and Hodge-de Rham system of differential equations using this method. 1