Vlastnosti síťových centralit

Abstract

The need to understand the structure of complex networks increases as both their complexity and the dependency of human society on them grows. Network centralities help to recognize the key elements of these networks. Betweenness centrality is a network centrality measure based on shortest paths. More precisely, the contribution of a pair of vertices u, v to a vertex w ̸= u, v is the fraction of the shortest uv-paths which lead through w. Betweenness centrality is then given by the sum of contributions of all pairs of vertices u, v ̸= w to w. In this work, we have summarized known results regarding both exact values and bounds on betweenness. Additionally, we have improved an existing bound and obtained more exact formulation for r-regular graphs. We have made two major contributions about betweenness uniform graphs, whose vertices have uniform betweenness value. The first is that all betweenness uniform graphs of order n with maximal degree n − k have diameter at most k, by which we have solved a conjecture posed in the literature. The second major result is that betweenness uniform graphs nonisomorphic to a cycle that are either vertex- or edge-transitive are 3-connected, by which we have partially solved another conjecture. 1

Potřeba porozumět komplexním sítím roste společně s jejich složitostí a mírou závis- losti lidstva na těchto sítích. Síťové centrality pomáhají rozpoznávat klíčové prvky kom- plexních sítí. Mezilehlostní (angl. betweenness) centralita je síťová centralita založená na nejkratších cestách. Přesněji řečeno, příspěvěk dvojice vrcholů u, v vrcholu w ̸= u, v je zlomek nejkratších uv-cest vedoucích vrcholem w. Mezilehlostní centralita je potom součet příspěvků vrcholu w od všech dvojic vrcholů u, v ̸= w. V této práci shrnujeme výsledky o přesných hodnotách mezilehlosti a odhadech na její hodnoty. Dále zlepšu- jeme jeden již existující odhad a formulujeme jeho přesnější znění pro r-regulární grafy. Hlavními přínosy této práce jsou dva výsledky týkající se mezilehlostně uniformních grafů, jejichž vrcholy mají stejnou hodnotu mezilehlosti. Přinášíme důkaz tvrzení, že všechny mezilehlostně uniformní grafy řádu n s maximálním stupněm n − k mají průměr ne- jvýše k, čímž jsme vyřešili domněnku uvedenou v literatuře. Dále dokazujeme tvrzení, že mezilehlostně uniformní grafy neisomorfní cyklům, které jsou zároveň buď vrcholově nebo hranově transitivní, jsou 3-souvislé, čímž jsme částečně vyřešili další domněnku. 1