Multistage nested distance in stochastic optimization

Abstract

K vyřešení mnoha úloh ze života, kde musíme udělat několik sekvenčních rozhod- nutí (např. investiční plán), se používá vícestupňová stochastická optimalizace. Tyto úlohy se modelují za pomoci náhodných procesů, které se často aproximují stromy scénářů. Velikost takového stromu je kompromisem mezi snahou o co nej- lepší aproximaci a možnostmi výpočetní techniky. Proto je někdy potřeba již vyge- nerovaný strom zjednodušit, aby bylo možné řešit a upočítat optimalizační úlohy. V této práci představíme několik algoritmů redukujících počet scénářů a vzájemně je porovnáme pro různé typy původních stromů. Zároveň vyřešíme jednoduchou investiční úlohu. Porovnána bude vzdálenost od původního stromu, doba výpočtu, vzdálenost optimálních hodnot účelové funkce a optimálních řešení. K měření vzdálenosti mezi stromy používáme vnořenou vzdálenost z teorie pravděpodob- nostních měr. 1

Multistage stochastic optimization is used to solve many real-life problems where decisions are taken at multiple times, e.g., portfolio selection problems. Such problems need the definition of stochastic processes, which are usually approxim- ated by scenario trees. The choice of the size of the scenario trees is the result of a compromise between the best approximation and the possibilities of the com- puter technology. Therefore, once a master scenario tree has been generated, it can be needed to reduce its dimension in order to make the problem computation- ally tractable. In this thesis, we introduce several scenario reduction algorithms and we compare them numerically for different types of master trees. A simple portfolio selection problem is also solved within the study. The distance from the initial scenario tree, the computational time, and the distance between the optimal objective values and solutions are compared for all the scenario reduction algorithms. In particular, we adopt the nested distance to measure the distance between two scenario trees. 1