Fourier-Galerkin Method for Stochastic Homogenization of Elliptic Partial Differential Equations

Abstract

This thesis covers the basics in the stochastic homogenization of elliptic partial differential equations, from underlying theory up to numerical ap- proaches. In particular, we introduce and analyze a combination of the Fourier-Galerkin method in the spatial domain with a collocation method in the stochastic domain. The material coefficients are assumed to depend on a finite number of random variables. We present a comparison of the Monte Carlo method with the full tensor grid and sparse grid collocation method for two applications. The first one is the checkerboard problem with continuous random variables, the other considers the material coefficients to be described in terms of an autocorrelation function.

Tahle práce poskytuje pokrytí základů stochastické homogenizace eliptických parciálních diferenciálních rovnic, od teorie až po možné numerické řešení. Představujeme a analyzujeme kombinaci Fourier-Galerkinovy metody pro ře- šení vzhledem k prostorovým proměnným a stochastickou kolokační metodu pro řešení vzhledem k náhodným proměnným. Předpokládáme, že materiá- lové koeficienty závisí na konečném počtu náhodných proměnných. Práce se též soustředí na porovnání metody Monte Carlo s kolokační metodou s plnou a řídkou mřížkou pro dvě modelové úlohy. První z nich je známá pod názvem šachovnicový problém se spojitými náhodnými proměnnými, druhá vychází ze znalosti autokorelační funkce.