Constructions of APN permutations

Abstract

V této práci zkoumáme rodinu vektorových boolovských funkcí na F22m , která je inspirována Kimovou funkcí, s cílem najít nové APN permutace na F22m pro m > 2. Funkce této rodiny jsou definované jako F(X) = X3 +bX3q +cX2q+1 +dXq+2 , kde parametry b, c a d jsou z F2m . V této práci jsou prezentovány nutné a postačující podmínky, které zaručují, že tyto funkce jsou APN nebo ekvivalentní permutaci. K nalezení podmínek na APN byla použita metoda využívající Trace-0/Trace-1 rozklad. Metoda využívající exponenciální sumy byla použita k odvození podmínek, za kterých je funkce z této rodiny ekvivalentní permutaci určitého typu. Získané podmínky pak byly použity k hledání APN permutací v tělesech F26 a F210 . 1

In this thesis, we examine a family of vectorial boolean functions on F22m inspired by Kim function, in order to find new APN permutations on F22m for m > 2. The functions of this family are defined as F(X) = X3 + bX3q + cX2q+1 + dXq+2 , where parameters b, c and d are from F2m . Necessary and sufficient conditions for this functions to be APN or equivalent to a permutation are presented in this thesis. To find conditions for being APN, Trace-0/Trace-1 decomposition method is used. A method using exponential sums is used to deduce which functions of this family is CCZ-equivalent to a certain type of permutation. These results were then used to search for APN permutations on F26 and F210 . 1