Problems in discrete geometry

Abstract

of doctoral thesis Problems in discrete geometry Zuzana Patáková This thesis studies three different questions from discrete geometry. A common theme for these problems is that their solution is based on algebraic methods. First part is devoted to the polynomial partitioning method, which par- titions a given finite point set using the zero set of a suitable polynomial. However, there is a natural limitation of this method, namely, what should be done with the points lying in the zero set? Here we present a general version dealing with the situation and as an application, we provide a new algorithm for the semialgebraic range searching problem. In the second part we study Ramsey functions of semialgebraic predi- cates. Conlon, Fox, Pach, Sudakov, and Suk constructed the first examples of semialgebraic predicates with the Ramsey function bounded from below by a tower function. We reduce the dimension of the ambient space in their construction and as a consequence, we provide a new geometric Ramsey-type theorem with a large Ramsey function. Last part is devoted to reptile simplices. A simplex S is k-reptile if it can be tiled by k simplices with disjoint interiors that are all mutually congruent and similar to S. We show that four-dimensional k-reptile simplices can exist only for k = m2 , where m ≥ 1...

dizertační práce Problémy diskrétní geometrie Zuzana Patáková V této práci se věnujeme třem různým problémům z oblasti diskrétní geometrie. Společným pojítkem těchto problémů je, že jejich řešení využívá algebraické metody. První problém se zabývá tzv. polynomiální metodou, která konečnou množinu bodů rozdělí pomocí nulové množinu polynomu. Limitujícím fak- torem této metody je, co dělat s body, které leží v nulové množině získaného polynomu? V práci představujeme obecnou verzi, která řeší popsanou situaci, a jako aplikaci uvádíme nový algoritmus pro tzv. semialgebraický range searching problém. V druhé části práce se věnujeme studiu Ramseyových funkcí semialge- braických predikátů. Conlon, Fox, Pach, Sudakov a Suk zkonstruovali první příklady semialgebraických predikátů s Ramseyovou funkcí zespoda odhad- nutou věžovitou funkcí. My snížíme dimenzi příslušného prostoru v jejich konstrukci a jako důsledek ukážeme novou geometrickou větu Ramseyova typu s velkou Ramseyovou funkcí. V poslední části se zabýváme samodlážditelnými simplexy. Simplex S je k-samodlážditelný, pokud je sjednocením k navzájem shodných simplexů s disjunktními vnitřky, které jsou navíc podobné simplexu S. V...