Reflection principles and large cardinals

Abstract

Práce zkoumá vztah tzv. principů reflexe a velkých kardinálů. Lévy ukázal, že v ZFC platí tzv. věta o reflexi a dokonce, že věta o reflexi je ekviva- lentní schématu nahrazení a axiomu nekonečna nad teorií ZFC bez axiomu nekonečna a schématu nahrazení. Tedy lze na větu o reflexi pohlížet jako na svého druhu axiom nekonečna. Práce zkoumá do jaké míry a jakým způsobem lze větu o reflexi zobecnit a jaký to má vliv na existenci tzv. velkých kardinálů. Práce definuje nedosažitelné, Mahlovy a nepopsatelné kardinály a ukáže, jak je lze zavést pomocí reflexe. Přirozenou limitou kardinálů získaných reflexí jsou kardinály nekonzistentní s L. Práce nabídne intuitivní zdůvodněn, proč tomu tak je. 1

This thesis aims to examine the relation between the so called Reflection Principles and Large Cardinals. Lévy has shown that the Reflection Theorem is a sound theorem of ZFC and it is equivalent to the Replacement Schema and the Axiom of Infinity. From this point of view, Reflection theorem can be seen a specific version of an Axiom of Infinity. This paper aims to examine the Reflection Principle and its generalisations with respect to the existence of Large Cardinals. This thesis will establish the Inaccessible, Mahlo and Indescribable cardinals and show how can those be defined via reflection. A natural limit of Large Cardinals obtained via reflection are cardinals inconsistent with L. This thesis will offer an intuitive explanation of why this holds. 1