On Selected Geometric Properties of Brownian Motion Paths

Abstract

Název práce: Vybrané geometrické vlastnosti trajektorií Brownova pohybu Autor: Mgr. Ondřej Honzl Emailová adresa: honzl@karlin.mff.cuni.cz Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Jan Rataj, CSc. Emailová adresa: rataj@karlin.mff.cuni.cz Katedra: Matematický ústav UK Abstrakt: Práce se zaměřuje na studium geometrických vlastností Brownova pohybu. Nejprve pojednává o kuželových bodech Brownova pohybu v rovině a jejich sou- vislosti s kritickými body. Motivace studia kritických bodů je skryta v příjemných vlastnostech distanční funkce mimo tyto body. Je dokázána věta o neexistenci dvou π+ kuželových bodů na pevné přímce. Toto tvrzení nás vede k hypotéze, že kritických bodů Brownova pohybu v rovině je nejvýše spočetně. Dále se práce zabývá studiem asymptotických vlastností povrchu r-okolí Browno- va pohybu zvaného Wienerova klobása. Za užití vlastností Kneserovy funkce je dokázáno tvrzení o vztahu Minkowského objemu a S-objemu. Jako důsledek dostáváme limitní chování povrchu Wienerovy klobásy skoro jistě v dimensích d ≥ 3. Nakonec je studována asymptotika počtu souvislých komponent doplňku Wiener- ovy klobásy v rovině. Motivací se nám stala otázka z článku [?]...

Title: On Selected Geometric Properties of Brownian Motion Paths Author: Mgr. Ondřej Honzl E-mail Address: honzl@karlin.mff.cuni.cz Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Prof. RNDr. Jan Rataj, CSc. E-mail Address: rataj@karlin.mff.cuni.cz Department: Mathematical Institute, Charles University Abstract: Our thesis is focused on certain geometric properties of Brownian motion paths. Firstly, it deals with cone points of Brownian motion in the plane and we show some connections between cone points and critical points of Brownian motion. The motivation of the study of critical points is provided by a pleasant behavior of the distance function outside of the set of these points. We prove the theorem on a non-existence of π+ cone points on fixed line. This statement leads us to the conjecture that there are only countably many critical points of the Brownian motion path in the plane. Next, the thesis discusses an asymptotic behavior of the surface area of r-neigh- bourhood of Brownian motion, which is called Wiener sausage. Using the proper- ties of a Kneser function, we prove the claim about the relation of the Minkowski content and S-content. As the consequence, we obtain a limit behavior of the surface area of the Wiener sausage almost surely in dimension d ≥ 3. Finally,...