Synchronizace automatů

Abstract

V této práci studujeme Trahtmanův důkaz Problému barvení cesty a sou- visející algoritmus. Pro každý silne souvislý orientovaný multigraf výstupně d s periodou 1 existuje synchronizující barvení. Béal a Perrin dokázali, že Trahtma- nův důkaz lze jednoduše zobecnit pro každou periodu a k-synchronizující barvení. Ukážeme dané zobecnění. Trahtmanův důkaz je konstruktivní a je založený na hledání barvení s netriviální stabilní dvojicí. Dokážeme, že pokud v Pα je právě jeden maximální strom, potom barvení má netriviální stabilní dvojici. Podgraf Pα obsahuje všechny hrany se stejnou barvou. Ukážeme jak také barvení na- lézt. Potom popíšeme algoritmy na nalezení k-synchronizujícího barvení. První je přímočarou aplikací tvrzení z Trahtmanova důkazu se složitostí O((n − k)dn2 ). Potom ukážeme Trahtmanovu redukci a Béalin a Perrinův algoritmus založený na Trahtmanově důkazu, ale se složitostí O((n − k)dn), kde n je počet vrcholů. 1

In this thesis we study Trahtman's proof of Road coloring problem and related algorithm. For every strongly connected directed multigraph with outdegree d and period 1, there exists synchronizing coloring. Béal and Perrin prove that Trahtman's proof can be simply generalized for every period and k-synchronizing coloring. We show generalized proof too. Trahtman's proof is constructive and is based on finding coloring with nontrivial stable states. We prove if there is only one maximal tree in Pα then the coloring is with nontrivial stable states. Subgraph Pα contains all edges with same color. We show how to find such coloring. Then we describe algorithms for finding k-synchronizing coloring. First algorithm uses proposition from Trahtman's proof with time complexity O((n−k)dn2 ). Then we show Trahtman's reduction and Béal and Perrin's algorithm based on Trahtman's proof but time complexity is O((n − k)dn) where n is the number of vertices. 1