Algoritmy pro řezy v grafech

Abstract

Problémy hledání řezu v grafu mohou být popsány jako problémy, v kterých jsme žádáni rozdělit graf na 2 nebo více částí. V této práci podáváme přehled metod a konceptů používaných při hledání nejlepších řezů vzhledem k několika kritériím. Dokážeme dualitu mezi problémem hledání multi-komoditního toku a řídkého řezu z práce autorů Leighton a Rao (LR). Dokážeme ji pomocí algoritmu užívajícího lineárního programování a geometrického vnořování. Následně představíme práci autorů Arora, Rao a Vazirani (ARV) a jejich algoritmus založený na semidefinitním programování a také na geometrickém vnořování. Též vysvětlíme koncept expanzních toků poprvé představených v práci ARV. Další rozsáhlá sekce je věnovaná spektrální teorii. Prvky spektrální teorie a koncept expanzních toků se spojí v kapitole o algoritme využívajícího jednokommoditní toky. Nakonec ukážeme výsledky naši implementace varianty algoritmu využívajícího jednokomoditní toky a algoritmu vnořování dle LR. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

Graph-partitioning problems can be generically defined as a family of problems in which we are asked to partition a graph into two or more components. We present overview of methods and concepts used to find best graph partitions according to several criteria. We prove duality of multi-commodity flow and sparsest cut problem due to work of Leighton and Rao by describing algorithm using a Linear programming relaxation and a geometric embedding. Then we present the work of Arora, Rao and Vazirani (ARV) and their algorithm based on Semidefinite programming relaxation and a geometric embedding. We also explain the concept of expander flows first introduced in the work of ARV. One section of our work is devoted to the spectral graph theory, introducing the concepts of the spectral gap, random walks, conductance and relations between them. We connect the ideas of expander flows and spectral theory in chapter about so called Cut-Matching game framework. Finally we present the performance results of our implementation of the Leighton-Rao and the Cut-Matching game algorithms. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)