Generalized Boolean models and classical predicate logic

Abstract

Tato bakalářská práce pojednává o úplných Booleových alge- berách a o jejich užití v semantice prvořádové predikátové logiky. Práce má dva hlavní cíle, v první řadě dokázat, že každá Booleova algebra může být rozšířena na úplnou Booleovu algebru tak, že původní algebra je její hustá podalgebra. Toto tvrzení je dokázáno pomocí topologické kontrukce. Následně, ve druhé části, defin- ujeme sémantiku prvořádové predikátové logiky s ohledem na úplné Booleovy algebry, současně také zavedeme pojem Booleovsky- ohodnoceného modelu. Poté dokážeme větu o úplnosti s ohledem na všechny úplné Booleovy algebry. To je dokázáno pomocí ultrafiltrů na Booleových algebrách. Klíčová slova: Booleovy algebry, úplné Booleovy algebry, kla- sická logika.

This bachelor thesis is dealing with complete Boolean algebras and its use in semantics of first-order predicate logic. This thesis has two main goals, at first it is to show that every Boolean al- gebra can be extended to a complete Boolean algebra such that the former Boolean algebra is its dense subalgebra. This theorem is proved using topological construction. Afterwards, in the sec- ond part, we define semantics for first-order predicate logic with respect to complete Boolean algebras, which includes introduc- tion of the Boolean-valued model. Then we prove completeness theorem with respect to all complete Boolean algebras. The the- orem is proven using ultrafilters on Boolean algebras. Keywords: Boolean algebras, complete Boolean algebras, clas- sical logic.