Bifurkace v matematických modelech v biologii

Abstract

V této diplomové práci jsou zkoumána stacionární, prostorově nehomogen- ní řešení systémů reakce-difuze figurující v biologických modelech, založených na Turingově myšlence nestability způsobené difuzí (diffusion driven instabili- ty). V souvislosti s tím je zkoumáno globální chování bifurkačních větví takových stacionárních řešení. Práce se opírá o teorii diferenciálních rovnic a o (zejména to- pologické) metody nelineární analýzy. Je dokázána existence, v jedné prostorové dimenzi i nekompaktnost, bifurkační větve pro obecný systém reakce-difuze vyka- zující Turingův efekt. Dále jsou odvozeny apriorní odhady pro Thomasův model. Tyto výsledky vedou k tvrzení, které pro všechny difuzní koeficienty z předem zavedené množiny zaručuje existenci alespoň jednoho stacionárního, prostorově nenulového řešení Thomasova modelu.

Stationary, spatially inhomogenous solutions of reaction-diffusion systems are studied in this thesis. These systems appears in biological models based on a Tu- ring's idea of a diffusion driven instability. In the connection, a global behaviour of bifurcation branches of these stationary solutions is analyzed. The thesis in- sists on theory of differential equations and on (particularly topological) methods of nonlinear analysis. The existence, as well as non-compatness in one-dimensional space, of a bifurcation branch of general reaction-diffusion system leading to Tu- ring's efekt is proved. Further, a priori estimates of Thomas model are derived. The results tend to theorem, that forall diffusion coefficient from the preestab- lished set there exists at least one stacionary, spacially nontrivial solution of Tho- mas model.