Lineární kódy a projektivní rovina řádu 10

Abstract

Projektivní rovina řádu 10 neexistuje. Důkaz tohoto tvrzení byl dokončen v roce 1989 a opírá se o neexistenci binárního kódu C generovaného incidenčními vektory jejích přímek. V rámci důkazu neexistence kódu C se s využitím počítačových výpočtů zkoumalo, jak by vypadaly koeficienty váhového polynomu tohoto kódu. Postupně se ukázalo, že koeficienty A12, A15, A16 a A19 musí být nulové, což ale bylo ve sporu s dalšími poznatky o vztazích mezi jednotlivými koeficienty. Předložená diplomová práce podrobně rozebírá jednotlivé fáze důkazu a v některých bodech je doplňuje novými postřehy a zjednodušeními. Část důkazu je zobecněna pro projektivní roviny řádu 8m + 2. 1

Projective plane of order 10 does not exist. Proof of this assertion was finished in 1989 and is based on the nonexistence of a binary code C generated by the incidence vectors of the plane's lines. As part of the proof of the nonexistence of code C, the coefficients of its weight enumerator were studied. It was shown that coefficients A12, A15, A16 and A19 have to be equal to zero, which contradicted other findings about the relationship among the coefficients. Presented diploma thesis elaborately analyses the phases of the proof and, in several places, enhances them with new observations and simplifications. Part of the proof is generalized for projective planes of order 8m + 2. 1