Nonabsolutely convergent integrals

Abstract

Název práce: Nonabsolutely convergent integrals Autor: Kristýna Kuncová Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Jan Malý, DrSc., Katedra matemat- ické analýzy Abstrakt: Cílem práce je zavést pojem neabsolutně konvergentního integrálu na metrickém prostoru s mírou a to tak, aby zahrnoval Lebesgueův integrál. K tomu potřebujeme důkladně popsat vztahy mezi prostory spojitých a lips- chitzovských funkcí. Následně vybudujeme tzv. UC-integrál funkce vzhledem k distribuci. Dokážeme, že naše konstrukce má rozumné vlastnosti a vyšetříme vztah k Lebesgueovu integrálu. Dále zavedeme UCN-integrál, který zanedbává množiny Hausdorffovy míry nula. Posléze se v práci věnujeme n-dimenzionálním metrickým currentům. Zavedeme pojem UC-integrálu vzhledem ke currentu a na závěr dokážeme obecnou verzi Gauss-Greenovy věty, jejímž speciálním případem je i Stokesova věta na varietách. Klíčová slova: Neabsolutní integrály, Vícerozměrná integrace, Gaussova-Gree- nova věta 1

Title: Nonabsolutely convergent integrals Author: Kristýna Kuncová Department: Department of Mathematical Analysis Supervisor: Prof. RNDr. Jan Malý, DrSc., Department of Mathematical Analysis Abstract: Our aim is to introduce an integral on a measure metric space, which will be nonabsolutely convergent but including the Lebesgue integral. We start with spaces of continuous and Lipschitz functions, spaces of Radon measures and their dual and predual spaces. We build up the so-called uniformly controlled integral (UC-integral) of a function with respect to a distribution. Then we investigate the relationship between the UC-integral with respect to a measure and the Lebesgue integral. Then we introduce another kind of integral, called UCN-integral, based on neglecting of small sets with respect to a Hausdorff measure. Hereafter, we focus on the concept of n-dimensional metric currents. We build the UC-integral with respect to a current and then we proceed to a very general version of Gauss-Green Theorem, which includes the Stokes Theorem on manifolds as a special case. Keywords: Nonabsolutely convergent integrals, Multidimensional integrals, Gauss-Green Theorem 1