Algebraic and Kripke semantics of substructural logics

Abstract

Tato práce se zabývá distributivním Lambekovým kalkulem, tedy intuicionistickou logikou bez pravidel záměny, kontrakce a oslabení, a především dvěma různými sé- mantikami této logiky, totiž sémantikou algebraickou a kripkovskou. Tyto dvě séman- tiky jsou nejdříve pojednávány ve zvláštních kapitolách a jsou prezentovány některé výsledky, které se jich týkají, např. se ukáže vlastnostnost disjunkce pomocí sloučení dvou Kripkovských modelů. Jádrem práce je nicméně především vztah těchto dvou sémantik, protože je zajímavé porovnávat, co mají společného, a čím se vůbec mohou lišit, když jsou obě sémantikami téže logiky. Bude ukázán překlad kripkovských rámců na algebry a algeber na rámce a dále bude tento překlad rožšířen i na morfismy, čímž budou zkonstruovány dva funktory mezi oběma kategoriemi. Klíčová slova:distributivní logika FL, distributivní Lambekův kalkul, strukturální pravidla, distributivní residuované svazy, kripkovské rámce, morfismy mezi rámci, kategorie, funktor 3

This thesis is about the distributive full Lambek calculus, i.e., intuicionistic logic without the structural rules of exchange, contraction and weakening and particularly about the two semantics of this logic, one of which is algebraic, the other one is a Kripke semantic. The two semantics are treated in separate chapters and some results about them are shown, for example the disjunction property is proven by amalgamation of Kripke models. The core of this thesis is nevertheless the relation of these two semantics, since it is interesting to study what do they have in common and how can they actually differ, both being a semantics of the same logic. We show how to translate frames to algebras and algebras to frames, and, moreover, we extend such translation to morphisms, thus constructing two functors between the two categories. Key words:distributive FL logic, distributive full Lambek calculus, structural rules, distributive residuated lattice, Kripke frames, frame morphisms, category, functor 2