Stochastical inference in the model of extreme events

Abstract

Title: Stochastical inference in the model of extreme events Author: Jan Dienstbier Department/Institute: Department of probability and mathematical statistics Supervisor of the doctoral thesis: Doc. RNDr. Jan Picek, CSc. Abstract: The thesis deals with extremal aspects of linear models. We provide a brief explanation of extreme value theory. The attention is then turned to linear models Yn×1 = Xn×pβp×1 + En×1 with the errors Ei ∼ F, i = 1, . . . , n fulfilling the do- main of attraction condition. We examine the properties of the regression quantiles of Koenker and Basset (1978) under this setting we develop theory dealing with extremal characteristics of linear models. Our methods are based on an approximation of the regression quantile process for α ∈ [0, 1] expanding older results of Gutenbrunner et al. (1993). Our result holds in [α∗ n, 1 − α∗ n] with a better rate of α∗ n → 0 than the other approximations described previously in the literature. Consecutively we provide an ap- proximation of the tails of regression quantile. The approximations of the tails enable to develop theory of the smooth functionals, which are used to establish a new class of estimates of extreme value index. We prove T(F−1 n (1 − knt/n)) is consistent and asymp- totically normal estimate of extreme for any T member of the class....

Název práce: Stochastická inference v modelu extrémních událostí Autor: Jan Dienstbier Katedra/Ústav: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí doktorské práce: Doc. RNDr. Jan Picek, CSc., Technická Univerzita v Liberci Abstrakt: Práce se věnuje extremálním aspektům lineárních modelů. Obsahuje stručný výklad teorie extremálních hodnot a uvádí do problému lineárních modelů Yn×1 = Xn×pβp×1 + En×1 s chybami Ei ∼ F, i = 1, . . . , n, kde distribuční funkce F náleží do některé sféry extremální přitažlivosti. Pracujeme s regresními kvantily odvozenými v článku Koenker and Basset (1978) a ukazujeme jejich extremální vlastnosti. V rámci odvození nových metod je v práci podán důkaz aproximace regresních kvantilů založený na na starších výsledcích Gutenbrunner et al. (1993). Náš výsledek platí na intervalu [α∗ n, 1 − α∗ n] s lepším řádem konvergence α∗ n → 0, než byl dosud odvozen ve starší liter- atuře. Tato aproximace umožňuje vybudovat aproximaci chvostů regresních kvantilů, na které je potom založena teorie hladkých funkcionálů procesu regresních kvantilů. Pomocí této teorie pak lze odvodit novou třídu odhadů Paretova indexu vhodnou pro regresní situaci. V práci probíráme vlastnosti této třídy...