Samodlážditelné simplexy

Abstract

V předložené práci se zabýváme problémem k-samodlážditelnosti čtyřstěnů. Simplex S je k-samodlážditelný, pokud se dá rozdělit na k navzájem shodných simplexů (s disjunktními vnitřky), jež jsou navíc podobné původnímu simplexu S. V rovině jsou všechny k-samodlážditelné trojúhleníky charakterizovány, na druhou stranu jediné k-samodlážditelné simplexy v dimenzi d>=3 jsou známy pro hodnotu k=md , kde m>=2, tzv. Hillovy simplexy. V práci dokážeme, že v dimenzi 3 existují k-samodlážditelné čtyřstěny pouze pro k=m3 , což částečně potvrzuje Hertelovu domněnku, že jediné k-samodlážditelné čtyřstěny jsou Hillovy. Domníváme se, že k= md je nutná podmínka pro existenci k-samodlážditelných simplexů (d>3).

of the Master thesis Reptile simplices Zuzana Safernová In the present work we study tetrahedral k-reptiles. A d-dimensional simplex is called a k- reptile if it can be tiled in k simplices with disjoint interiors that are all congruent and similar to S. For d=2, triangular k-reptiles exist for many values of k and they have been completely characterized. On the other hand, the only simplicial k-reptiles that are known for d>=3 have k=md , where m>=2 (Hill simplices). We prove that for d=3, tetrahedral k-reptiles exist only for k=m3 . This partially confirms the Hertel's conjecture, asserting that the only tetrahedral k-reptiles are the Hill tetrahedra. We conjecture that k = m^d is necessary condition for existence of d-dimensional simplicial k-reptiles, d > 3.