Gröbnerovy báze v kryptografii

Abstract

Předložené práce studuje využití Grobnerových bází v kryptografii, a to speciálně při kryptoanalýze blokový šifer. Nejprve seznamujeme se základními pojmy teorie Grobnerových bází a metodou pro jejich nalezení, kterou je Buchbergerův algoritmus. Je vysvětlen princip řešení soustav polynomiálních rovnic pomocí vhodných Grobrenových bází. Následně je věnována pozornost moderním algoritmům pro nalezení Grobnerovy báze, jež Buchbergerův algoritmus vylepšují. V poslední části jsou shrnuty dosavadní výsledky dosažené v kryptografii pomocí metod založených na Grobnerových bázích a je představen pojem algebraické kryptoanalýzy. Ta převádí problém prolomení kryptosystému na problém nalezení řešení soustavy polynomiálních rovnic nad konečným tělesem. Na příkladech je vysvětleno jak konstruovat soustavy polynomů více proměnných popisující blokové šifry a jsou prezentovány výsledky praktických pokusů s takovými soustavami.

The thesis focuses on the use of GrÄobner bases in cryptography and especially on applications in cryptanalysis of block ciphers. Some elementary concepts from the theory of GrÄobner bases are introduced together with Buchberger's algorithm, a method for constructing such bases. The principle of solving of poly nomial systems using suitable GrÄobner bases is explained. This is followed by pre sentation of modern algorithms that improve the Buchberger's algorithm. In the last part of the thesis present results achieved by GrÄobner bases are summarised and the notion of algebraic cryptanalysis is introduced. In algebraic cryptanalysis we transform breaking of given cryptosystem into a problem of solving polynomial equations over some nite eld. Examples of polynomial descriptions of block ciphers are provided together with some experimental result on arising polynomial systems.