Axiom of Choice and Axiom of Determinacy from the mathematical and philosophical perspectives

Abstract

Tato bakalá!ská práce se zab"vá srovnáním axiomu v"b#ru a axiomu deter- minovanosti z matematické i filozofické perspektivy. Matematická $ást práce p!edstavuje základní d%sledky axiomu v"b#ru, zejména jeho roli p!i konstrukci nem#!iteln"ch a jinak neregulárních mno&in reáln"ch $ísel. Zvlá'tní pozornost je v#nována Vitaliho mno&in#, Baireov# vlastnosti, Lebesgueov# m#!itelnosti a vztahu mezi mírou a kategorií. Druhá $ást práce se soust!edí na nekone$né hry, Galeovu-Stewartovu for- mulaci determinovanosti a axiom determinovanosti. Práce ukazuje, &e zatímco axiom v"b#ru reprezentuje maximalistick" princip existence, axiom determino- vanosti nabízí alternativní obraz mno&in reáln"ch $ísel zalo&en" na regularit#. Pod axiomem determinovanosti mají v'echny mno&iny reáln"ch $ísel základní regularitní vlastnosti, nap!íklad Lebesgueovu m#!itelnost, Baireovu vlastnost a vlastnost perfektní mno&iny. Filozofická $ást práce interpretuje konflikt mezi AC a AD jako st!et dvou r%zn"ch ideál% matematiky. Ideál maximální existence a ideálu strukturální reg- ularity. Práce tak ukazuje, &e otázka patologick"ch mno&in není pouze tech- nick"m problémem teorie mno&in, ale také filozofickou otázkou t"kající se povahy matematické existence a p!ijatelnosti neexplicitních konstrukcí. Klí!ová slova: axiom v"b#ru, axiom...

This bachelor thesis compares the Axiom of Choice and the Axiom of Deter- minacy from both a mathematical and a philosophical perspective. The mathe- matical part presents the basic consequences of the Axiom of Choice, especially its role in the construction of non-measurable and otherwise non-regular sets of real numbers. Special attention is given to the Vitali set, the Baire property, Lebesgue measurability, and the relation between measure and category. The second part of the thesis focuses on infinite games, the Gale-Stewart framework of determinacy, and the Axiom of Determinacy. The thesis shows that while the Axiom of Choice represents a maximalist principle of existence, the Axiom of Determinacy provides an alternative picture of sets of reals based on regularity. Under the Axiom of Determinacy, all sets of reals satisfy fundamental regularity properties, such as Lebesgue measurability, the Baire property, and the perfect set property. The philosophical part interprets the conflict between AC and AD as a con- flict between two di!erent ideals of mathematics: the ideal of maximal existence and the ideal of structural regularity. In this way, the thesis shows that the ques- tion of pathological sets is not merely a technical issue in set theory, but also a philosophical question concerning...