Ulamův problém

Abstract

In this bachelor's thesis we deal with Ulam's problem. In the first chapter, we introduce the basic definitions and the axiomatic theory of ZF extended by the Axiom of Choice; we also formulate and prove the Lemma that will be used for the proofs in the second and third chapters. In the second and third chapters, we prove that, assuming the Continuum Hypothesis holds, the Ulam's problem has a positive solution, and assuming the Full Measure Extension Axiom holds, the Ulam's problem has a negative solution. We carry out both proofs with a high degree of detail. Finally, in chapter four, we prove that the generalized Ulam's problem for sets with cardinality greater than that of the real numbers always has a negative solution. 1

V této bakalářské práci se zabýváme Ulamovým problémem. V první kapitole zavedeme základní definice, uvedeme axiomatickou teorii ZF rozšířenou o Axiom výběru, zformulujeme a dokážeme Lemma, které nám bude sloužit k důkazům ve druhé a třetí kapitole. Ve druhé a třetí kapitole dokážeme, že za předpokladu, že platí Hypotéza kontinua, tak Ulamův problém má pozitivní řešení, a za předpokladu platnosti Axiomu rozšíření míry má Ulamův problém negativní řešení. Oba důkazy provedeme s vysokou mírou podrobnosti. Nakonec ve čtvrté kapitole dokážeme, že zobecněný Ulamův problém pro množiny s větší mohutností, než je mohutnost reálných čísel, má vždy negativní řešení. 1